Data l'a.l. $$ f:R^3 \to R^2; f(x, y, z) = (ax+by+cz, dx+ey+fz) $$ Posso identificare una matrice che la rappresenti $$ M_f = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \\ $$
Pongo per ogni riga i coefficenti di ogni componente dello spazio vettoriale di arrivo.
Dato che stiamo operando da $R^3 \to R^2$ prendiamo i versori fondamentali di R^3
$$
e_1 = (1, 0, 0) \\
e_2 = (0, 1, 0) \\
e_3 = (0, 0, 1) \\
$$
E proviamo ad applicare $f$ ai tre versori $$ f(e_1) = (a, d) \\ f(e_2) = (b, e) \\ f(e_3) = (c, f) \\ $$
Queste sono esattamente le 3 colonne della mia matrice $M_f$
Quindi sia le righe(coefficenti) che le colonne(applicazione ai versori) portano un significato.
Data quindi una funzione generica $$ f:R^n \to R^m \\ $$ Applichiamola ai versori di R^n e otteniamo le colonne $$ e_1 = (1, 0, \dots, 0) \to^f (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{m1}) \\ e_2 = (0, 1, \dots, 0) \to^f (a_{21}, a_{22}, \dots, a_{m2}) \\ e_n = (0, 0, \dots, 1) \to^f (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{mn}) \\ \begin{align} M_f = & \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & \end{pmatrix} \\ & \begin{array}{cccc} \downarrow & \downarrow & & \downarrow \\ f(e_1) & f(e_2) & & f(e_n) \end{array} \end{align} $$
Posso vedere che la mia applicazione mappa a $R^m$ e che la mia matrice ha proprio $m$ righe.
Infatti ogni riga contiene i coefficenti da applicare alla n_upla in ingresso per avere l'elemento della emmesimo della ennumpla d'uscita
$$
f(x_1, x_2, \dots, x_n) = (a_1, a_2, \dots, a_m) \\
a_1 = x_1a_{11} + x_2a_{12} + \dots + x_na_{1n} \\
a_2 = x_1a_{21} + x_2a_{22} + \dots + x_na_{2n} \\
\dots \\
a_m = x_1a_{m1} + x_2a_{m2} + \dots + x_na_{mn} \\
$$
Quindi posso notare che
$$
f:R^n \to R^m, M_f \in R^{mn}
$$
E posso notare che ogni coponente di $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ è una combinazione lineare (polinomio omogenuo di primo grado) della n_upla $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ con coefficenti derivati dalla matrice.
Assegnata una matrice questa rappresenta sempre un'applicazione lineare.
Provo a definire f $$ f: R^3 \to R^32; f(x, y , z) = (x-y+4z, 2x+2y) $$ Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra una qualunque matrice $R^{mn}$ e un applicazione lineare $f:R^n \to R^m$
Data questa corrispondenza biunivoca è possibile studiare le matrici per analizzare la relativa applicazione lineare.
Partendo dalla matrice di un a.l. posso quindi capire se l'a.l. è:
L'applicazione lineare è suriettiva se genera tutto lo spazio vettoriale $R^m$.
Per controllarlo guardando la matrice devo valutare se lo spazio vettoriale generato dalla colonna delle matrice corrisponde a $m$.
Per farlo è sufficente calcolare il rango della matrice, dato che il rango della matrice corrisponde alla dimensione dello spazio vettoriale delle colonne.
Se $\rho(M_f) = m; f$ è suriettiva.
Dato che se è un applicazione lineare il rango è pari al numero delle righe allora devo giusto controllare che il numero delle righe sia $m$
Un a.l. è iniettiva se $\ker f = \{0_{R^n}\}$
Ma
$$
\ker f = m - \dim{\operatorname{Im}f} = n - \rho{M_f} \\
$$
Quindi la a.l. è iniettiva quando $n$ è uguale al rango della matrice, cioè quando è uguale al numero delle colonne.
Se $$ f: R^n \to R^n; \text{Invertibile} \\ M_{f^{-1}} = (M_f)^{-1} \\ $$ Quindi per trovare l'applicazione lineare inversa di un applicazione lineare $f$ invertibile mi basta calcolare l'inversa della sua matrice.
Dati $$ f: R^n \to R^m \\ g: R^m \to R^z \\ h = g \circ f \\ M_{h} = M_gM_f $$ Quindi per calcolare la composizione di due a.l. posso moltiplicare le relative matrici.